Цель статьи - теоретическое обоснование полного набора математических функций уголовного наказания. Научные методы: 1) наблюдение; 2) дедукция; 3) использование законов формальной логики; 4) сравнительный анализ; 5) формально юридический; 6) математическое моделирование; 7) дифференциальное и интегральное исчисление; 8) исследование математических функций; 9) построение таблиц и графиков. Научные результаты, полученные автором: 1) теоретическое определение полного множества первообразных и дифференциальных линейных и нелинейных функций уголовного наказания с их параметризацией; 2) параметризация линейных - биссектриальной (базовой), надбиссектриальных и подбиссектриальных функций уголовного наказания;3) параметризация нелинейных функций уголовного наказания;4) параметризация и анализ первообразных, первых и вторых производных функций уголовного наказания в законодательстве и судебной практике США; 5) доказательство того, что в законодательстве и судебной практике США используются исключительно нелинейные - кубические, экспоненциальные и степенные функции уголовного наказания, зависящие от величины общественной опасности содеянного и общественной опасности лица, совершившего преступление; 6) анализ достоинств и недостатков «функций» наказания в США; 7) предложения по совершенствованию уголовных наказаний в России. Научная новизна заключается во вновь полученных научных результатах. Практическая значимость заключается в возможности использования полученных научных результатов в развитии уголовно-правовой и уголовно-процессуальной теорий; повышении уровня справедливости при вынесении судебных приговоров.